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高一数学?一常识点总结
第一章 调集与函数观点
一、调集有关观点
1、调集的寄义：某些指定的工具集在一路就成为一个调集，此中每个工具叫元素。
2、调集的中元素的三个特色：
1.元素简直定性;2.元素的互同性;3.元素的无序性
申明：(1)对一个给定的调集，调集中的元素是肯定的，任何一个工具或是或不是这个给定的调集的元素。
(2)任何一个给定的调集中，任何两个元素都是差别的工具，不异的工具纳入一个调集时，仅算一个元素。
(3)调集中的元素是同等的，不前后挨次，是以鉴定两个调集是不是一样，仅需比拟它们的元素是不是一样，不需考核摆列挨次是不是一样。
(4)调集元素的三个特色使调集自身具备了肯定性和全体性。
3、调集的表现：{…}如{我校的篮球队员}，{承平洋,大泰西,印度洋,北冰洋}
1.用拉丁字母表现调集：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
2.调集的表现方式：罗列法与描写法。
注重啊：经常使用数集及其记法：
非负整数集(即天然数集)记作：N
正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R
对“属于”的观点
调集的元素通经常使用小写的拉丁字母表现，如：a是调集A的元素，就说a属于调集A记作a∈A，相反，a不属于调集A记作a?A
罗列法：把调集中的元素逐一罗列出来，而后用一个大括号括上。
描写法：将调集中的元素的大众属性描写出来，写在大括号内表现调集的方式。用肯定的前提表现某些工具是不是属于这个调集的方式。
①说话描写法：例：{不是直角三角形的三角形}
②数学款式描写法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R|x-3>2}或{x|x-3>2}
4、调集的分类：
1.无穷集含有无穷个元素的调集
2.无穷集含有无穷个元素的调集
3.空集不含任何元素的调集例：{x|x2=-5｝
二、调集间的根基干系
1.“包罗”干系—子集
注重：有两种能够(1)A是B的一部分，;(2)A与B是统一调集。
反之:调集A不包罗于调集B,或调集B不包罗调集A,记作AB或BA
2.“相称”干系(5≥5，且5≤5，则5=5)
实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素不异”
论断：对两个调集A与B，若是调集A的任何一个元素都是调集B的元素，同时,调集B的任何一个元素都是调集A的元素，咱们就说调集A便是调集B，即：A=B
①任何一个调集是它自身的子集。AíA
②真子集:若是AíB,且A1B那就说调集A是调集B的真子集，记作AB(或BA)
③若是AíB,BíC,那末AíC
④若是AíB同时BíA那末A=B
3.不含任何元素的调集叫做空集，记为Φ
划定:空集是任何调集的子集，空集是任何非空调集的真子集。
三、调集的运算
1.交加的界说：普通地，由一切属于A且属于B的元素所组成的调集,叫做A,B的交加.
记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}.
2、并集的界说：普通地，由一切属于调集A或属于调集B的元素所组成的调集，叫做A,B的并集。记作：A∪B(读作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}.
3、交加与并集的性子：A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A，A∪A=A,
A∪φ=A,A∪B=B∪A.
4、选集与补集
(1)补集：设S是一个调集，A是S的一个子集(即)，由S中一切不属于A的元素组成的调集，叫做S中子集A的补集(或余集)
记作：CSA即CSA={x|x?S且x?A}
S
CsA
A
(2)选集：若是调集S含有咱们所要研讨的各个调集的全数元素，这个调集便能够看做一个选集。通经常使用U来表现。
(3)性子：⑴CU(CUA)=A⑵(CUA)∩A=Φ⑶(CUA)∪A=U
四、函数的有关观点
1.函数的观点：设A、B长短空的数集，若是按照某个肯定的对应干系f，使对调集A中的肆意一个数x，在调集B中都有独一肯定的数f(x)和它对应，那末就称f：A→B为从调集A到调集B的一个函数.记作：y=f(x)，x∈A.此中，x叫做自变量，x的取值规模A叫做函数的界说域;与x的值绝对应的y值叫做函数值，函数值的调集{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
注重：2若是只给出剖析式y=f(x)，而不指明它的界说域，则函数的界说域便是指能使这个款式成心义的实数的调集;3函数的界说域、值域要写成调集或区间的情势.
界说域补充
能使函数式成心义的实数x的调集称为函数的界说域，求函数的界说域时列不等式组的首要按照是：(1)分式的分母不便是零;(2)偶次方根的被开方数不小于零;(3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不便是1.(5)若是函数是由一些根基函数经由过程四则运算连系而成的.那末，它的界说域是使各部分都成心义的x的值组成的调集.(6)指数为零底不能够便是零(6)现实题目中的函数的界说域还要保障现实题目成心义.
(又注重：求出不等式组的解集即为函数的界说域。)
组成函数的三因素：界说域、对应干系和值域
再注重：(1)组成函数三个因素是界说域、对应干系和值域.因为值域是由界说域和对应干系决议的，以是，若是两个函数的界说域和对应干系完整分歧，即称这两个函数相称(或为统一函数)(2)两个函数相称当且仅当它们的界说域和对应干系完整分歧，而与表现自变量和函数值的字母有关。不异函数的鉴定方式：①抒发式不异;②界说域分歧(两点必须同时具备)
(见讲义21页相干例2)
值域补充
(1)、函数的值域取决于界说域和对应法例，不管采用甚么方式求函数的值域都应先斟酌其界说域.(2).应熟习把握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解庞杂函数值域的根本。
3.函数图像常识归结
(1)界说：在立体直角坐标系中，以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的调集C，叫做函数y=f(x),(x∈A)的图像.
C上每点的坐标(x，y)均知足函数干系y=f(x)，反过去，以知足y=f(x)的每组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上.即记为C={P(x,y)|y=f(x),x∈A}
图像C普通的是一条滑腻的持续曲线(或直线),也能够是由与肆意平行与Y轴的直线最多只要一个交点的多少条曲线或团圆点组成。
(2)画法
A、描点法：按照函数剖析式和界说域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出响应的点P(x,y)，最初用光滑的曲线将这些点毗连起来.
B、图像变更法(请参考?4三角函数)
经常使用变更方式有三种，即平移变更、伸缩变更和对称变更
(3)感化：
1、直观的看出函数的性子;2、操纵数形连系的方式阐发解题的思绪。进步解题的速率。
发明解题中的毛病。
4.快去领会区间的观点
(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间;(2)无穷区间;(3)区间的数轴表现.
5.甚么叫做映照
普通地，设A、B是两个非空的调集，若是按某一个肯定的对应法例f，使对调集A中的肆意一个元素x，在调集B中都有独一肯定的元素y与之对应，那末就称对应f：AB为从调集A到调集B的一个映照。记作“f：AB”
给定一个调集A到B的映照，若是a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应，那末，咱们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象
申明：函数是一种出格的映照，映照是一种出格的对应，①调集A、B及对应法例f是肯定的;②对应法例有“标的目的性”，即夸大从调集A到调集B的对应，它与从B到A的对应干系普通是差别的;③对映照f：A→B来讲，则应知足：(Ⅰ)调集A中的每个元素，在调集B中都有象，并且象是独一的;(Ⅱ)调集A中差别的元素，在调集B中对应的象能够是统一个;(Ⅲ)不请求调集B中的每个元素在调集A中都有原象。
经常使用的函数表现法及各自的长处：
1函数图像既能够是持续的曲线，也能够是直线、折线、团圆的点等等，注重鉴定一个图形是不是是函数图像的按照;2剖析法：必须申明函数的界说域;3图像法：描点法作图要注重：肯定函数的界说域;化简函数的剖析式;察看函数的特色;4列表法：拔取的自变量要有代表性，应能反应界说域的特色.
注重啊：剖析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图像法：便于量出函数值
补充一：分段函数(参见讲义P24-25)
在界说域的差别部分上有差别的剖析抒发式的函数。在差别的规模里求函数值时必须把自变量代入响应的抒发式。分段函数的剖析式不能写成几个差别的方程，而就写函数值几种差别的抒发式并用一个左大括号括起来，并别离申明各部分的自变量的取值环境.(1)分段函数是一个函数，不要把它误觉得是几个函数;(2)分段函数的界说域是各段界说域的并集，值域是各段值域的并集.
补充二：复合函数
若是y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A)称为f、g的复合函数。
比方:y=2sinXy=2cos(X2+1)
7.函数枯燥性
(1).增函数
设函数y=f(x)的界说域为I，若是对界说域I内的某个区间D内的肆意两个自变量x1，x2，当x1
若是对区间D上的肆意两个自变量的值x1，x2，当x1
注重：1函数的枯燥性是在界说域内的某个区间上的性子，是函数的部分性子;
2必须是对区间D内的肆意两个自变量x1，x2;当x1
(2)图像的特色
若是函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那末说函数y=f(x)在这一区间上具备(严酷的)枯燥性，在枯燥区间上增函数的图像从左到右是回升的，减函数的图像从左到右是降落的.
(3).函数枯燥区间与枯燥性的鉴定方式
(A)界说法：
1任取x1，x2∈D，且x1
(B)图像法(从图像上看起落)_
(C)复合函数的枯燥性
复合函数f[g(x)]的枯燥性与组成它的函数u=g(x)，y=f(u)的枯燥性紧密亲密相干，其纪律以下：
函数
枯燥性
u=g(x)
增
增
减
减
y=f(u)
增
减
增
减
y=f[g(x)]
增
减
减
增
注重：1、函数的枯燥区间只能是其界说域的子区间,不能把枯燥性不异的区间和在一路写成其并集.2、还记得咱们在选修里进修简略易行的导数法鉴定枯燥性吗?
8.函数的奇偶性
(1)偶函数
普通地，对函数f(x)的界说域内的肆意一个x，都有f(-x)=f(x)，那末f(x)就叫做偶函数.
(2)奇函数
普通地，对函数f(x)的界说域内的肆意一个x，都有f(-x)=—f(x)，那末f(x)就叫做奇函数.
注重：1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的全体性子;函数能够不奇偶性,也能够既是奇函数又是偶函数。
2由函数的奇偶性界说可知，函数具备奇偶性的一个须要前提是，对界说域内的肆意一个x，则-x也必然是界说域内的一个自变量(即界说域对原点对称).
(3)具备奇偶性的函数的图像的特色
偶函数的图像对y轴对称;奇函数的图像对原点对称.
总结：操纵界说鉴定函数奇偶性的格局步骤：1起首肯定函数的界说域，并鉴定其界说域是不是对原点对称;2肯定f(-x)与f(x)的干系;3作出响应论断：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0，则f(x)是偶函数;若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0，则f(x)是奇函数.
注重啊：函数界说域对原点对称是函数具备奇偶性的须要前提.起首看函数的界说域是不是对原点对称，若错误称则函数长短奇非偶函数.若对称，(1)再按照界说鉴定;(2)偶然鉴定f(-x)=±f(x)比拟坚苦，可斟酌按照是不是有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来鉴定;(3)操纵定理，或借助函数的图像鉴定.
9、函数的剖析抒发式
(1).函数的剖析式是函数的一种表现方式，请求两个变量之间的函数干系时，一是请求出它们之间的对应法例，二是请求出函数的界说域.
(2).求函数的剖析式的首要方式有：待定系数法、换元法、消参法等，若是已知函数剖析式的机关时，可用待定系数法;已知复合函数f[g(x)]的抒发式时，可用换元法，这时候要注重元的取值规模;当已知抒发式较简略时，也可用凑配法;若已知笼统函数抒发式，则经常使用解方程组消参的方式求出f(x)
10.函数最大(小)值(界说见讲义p36页)
1操纵二次函数的性子(配方式)求函数的最大(小)值2操纵图像求函数的最大(小)值3操纵函数枯燥性的鉴定函数的最大(小)值：若是函数y=f(x)在区间[a，b]上枯燥递增，在区间[b，c]上枯燥递加则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);若是函数y=f(x)在区间[a，b]上枯燥递加，在区间[b，c]上枯燥递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);
第二章根基初等函数
一、指数函数
(一)指数与指数幂的运算
1.根式的观点：普通地，若是，那末叫做的次方根(nthroot)，此中>1，且∈*.
当是奇数时，负数的次方根是一个负数，负数的次方根是一个负数.此时，的次方根用标记表现.款式叫做根式(radical)，这里叫做根指数(radicalexponent)，叫做被开方数(radicand).
当是偶数时，负数的次方根有两个，这两个数互为相反数.此时，负数的正的次方根用标记表现，负的次方根用标记-表现.正的次方根与负的次方根能够归并成±(>0).由此可得：负数不偶次方根;0的任何次方根都是0，记作。
注重：当是奇数时，，当是偶数时，
2.分数指数幂
负数的分数指数幂的意思，划定：
0的正分数指数幂便是0，0的负分数指数幂不意思
指出：划定了分数指数幂的意思后，指数的观点就从整数指数推行到了有理数指数，那末整数指数幂的运算性子也一样能够推行到有理数指数幂.
3.实数指数幂的运算性子
(1)?;
(2);
(3).
(二)指数函数及其性子
1、指数函数的观点：普通地，函数叫做指数函数(exponential)，此中x是自变量，函数的界说域为R.
注重：指数函数的底数的取值规模，底数不能是负数、零和1.
2、指数函数的图像和性子
a>1
0
图像特色
函数性子
向x、y轴正负标的目的无穷延长
函数的界说域为R
图像对原点和y轴错误称
非奇非偶函数
函数图像都在x轴上方
函数的值域为R+
函数图像都过定点(0，1)
自左向右看，
图像逐步回升
自左向右看，
图像逐步降落
增函数
减函数
在第一象限内的图像纵坐标都大于1
在第一象限内的图像纵坐标都小于1
在第二象限内的图像纵坐标都小于1
在第二象限内的图像纵坐标都大于1
图像回升趋势是愈来愈陡
图像回升趋势是愈来愈缓
函数值起头增加较慢，到了某一值后增加速率极快;
函数值起头减小极快，到了某一值后减小速率较慢;
注重：操纵函数的枯燥性，连系图像还能够看出：
(1)在[a，b]上，值域是或;
(2)若，则;取遍一切负数当且仅当;
(3)对指数函数，总有;
(4)那时，若，则;
二、对数函数
(一)对数
1.对数的观点：普通地，若是，那末数叫做觉得底的对数，记作：(—底数，—真数，—对数式)
申明：1注重底数的限定，且;
2;
3注重对数的誊写格局.
两个主要对数：
1经常使用对数：以10为底的对数;
2天然对数：以在理数为底的对数的对数.
对数式与指数式的互化
对数式指数式
对数底数←→幂底数
对数←→指数
真数←→幂
(二)对数的运算性子
若是，且，，，那末：
1?+;
2-;
3.
注重：换底公式
(，且;，且;).
操纵换底公式推导上面的论断(1);(2).
(二)对数函数
1、对数函数的观点：函数，且叫做对数函数，此中是自变量，函数的界说域是(0，+∞).
注重：1对数函数的界说与指数函数近似，都是情势界说，注重区分。
如：，都不是对数函数，而只能称其为对数型函数.
2对数函数对底数的限定：，且.
2、对数函数的性子：
a>1
0
图像特色
函数性子
函数图像都在y轴右侧
函数的界说域为(0，+∞)
图像对原点和y轴错误称
非奇非偶函数
向y轴正负标的目的无穷延长
函数的值域为R
函数图像都过定点(1，0)
自左向右看，
图像逐步回升
自左向右看，
图像逐步降落
增函数
减函数
第一象限的图像纵坐标都大于0
第一象限的图像纵坐标都大于0
第二象限的图像纵坐标都小于0
第二象限的图像纵坐标都小于0
(三)幂函数
1、幂函数界说：普通地，形如的函数称为幂函数，此中为常数.
2、幂函数性子归结.
(1)一切的幂函数在(0，+∞)都有界说，并且图像都过点(1，1);
(2)时，幂函数的图像经由过程原点，并且在区间上是增函数.出格地，那时，幂函数的图像下凸;那时，幂函数的图像上凸;
(3)时，幂函数的图像在区间上是减函数.在第一象限内，当从右侧趋势原点时，图像在轴右方无穷地迫近轴正半轴，当趋于时，图像在轴上方无穷地迫近轴正半轴.
第三章函数的操纵
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的观点：对函数，把使建立的实数叫做函数的零点。
2、函数零点的意思：函数的零点便是方程实数根，亦即函数的图像与轴交点的横坐标。即：
方程有实数根函数的图像与轴有交点函数有零点.
3、函数零点的求法：
求函数的零点：
1(代数法)求方程的实数根;
2(多少法)对不能用求根公式的方程，能够将它与函数的图像接洽起来，并操纵函数的性子找出零点.
4、二次函数的零点：
二次函数.
1)△>0，方程有两不等实根，二次函数的图像与轴有两个交点，二次函数有两个零点.
2)△=0，方程有两相称实根(二重根)，二次函数的图像与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点.
3)△<0，方程无实根，二次函数的图像与轴无交点，二次函数无零点.
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